Вычислительная математика

1. Погрешности результата численного решения задачи.5

1.1. Причины возникновения и классификация погрешностей ..5

1.2. Прямая задача теории погрешностей .6

1.3. Обратная задача теории погрешностей .7

1.4. Задачи и упражнения.8

2. Аппроксимация и интерполяция функций 10

2.1. Общие понятия и определения.10

2.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 10

Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет существенный недостаток11

2.3. Интерполяционная формула Ньютона 11

2.4. Интерполяционные и экстраполяционные формулы при равноотстоящих значениях аргумента .12

2.4.1. Формула Ньютона для интерполирования вперед и экстраполирования назад.13

2.4.2. Формула Ньютона для интерполирования назад и экстраполирования вперед.13

2.5. Интерполяционные формулы Гаусса ..13

Задачи ..14

2.6. 3.

Построение кривой по точкам ..18

3.1. Общие понятия ..18

3.2. Метод наименьших квадратов .18

3.3. Метод линеаризации данных по методу наименьших квадратов..19

3.4. Интерполирование сплайнами .20

3.4.1. Кусочно-линейное и кусочно-квадратичное интерполирование.20

3.4.2. Простейший подход к сглаживанию .22

3.4.3.Кусочно-кубические сплайны .22

3.5. Задачи ..23

4. Приближенное вычисление определенных интегралов.25

4.1. Интерполяционные квадратурные формулы ..25

4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. ..25

4.2.1. Формула прямоугольников..26

4.2.2. Формула трапеций.26

4.2.3.Формула Симпсона (формула парабол) 26

4.3. Квадратурная формула Гаусса .27

4.4. Метод Монте-Карло 28

4.5. Задачи ..29

5. Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц 31

5.1. Общие понятия и определения.31

5.2. Метод Данилевского ..32

5.3. Метод Крылова ..33

5.4. Вычисление всех собственных значений положительно определенной симметрической матрицы..34

5.5 Задачи ..35

6. Методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений 37

6.1. Общие понятия и определения.37

6.2. Отделение корней.38

6.2.1.Графический метод 38

6.2.2.Аналитический метод (табличный или шаговый)..39

6.2.3. Отделение корней алгебраических уравнений 39

6.2.4. Метод половинного деления (Дихотомии) 41

6.3. Итерационные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений .42

6.3.1. Метод простой итерации ..42

6.3.2. Метод Ньютона43

6.4. Решение систем двух нелинейных уравнений45

6.4.1Метод простой итерации .45

6.4.2. Метод Ньютона46

6.5. Метод Лобачевского46

6.6. Задачи и упражнения..49

7. Решение систем линейных алгебраических уравнений 51

7.1. Точные методы ..51

7.2. Метод Гаусса (схема единственного деления) ..51

7.3. Метод отражений..52

7.4. Итерационные методы ..54

7.5. Метод простой итерации .54

7.6. Метод Зейделя.56

7.7. Задачи и упражнения..58

Литература .65