Численные методы

Введение..............................................................................................................................5

1. Численное решение нелинейных уравнений....................................................................6

1.1 Постановка задачи. Основные этапы решения................................................................6

1.2 Метод дихотомии и метод простой итерации................................................................10

1.3. Метод Ньютона и его модификации..............................................................................12

2. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений.................................19

2.1. Норма матрицы. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений.........19

2.2. Метод Гаусса..................................................................................................................23

2.3. Метод прогонки.............................................................................................................26

2.4. Метод Якоби..................................................................................................................27

2.5. Метод Зейделя...............................................................................................................31

2.6. Двухслойные итерационные методы.............................................................................35

3. Численное решение систем нелинейных уравнений.......................................................41

3.1. Метод простой итерации................................................................................................42

3.2. Метод Ньютона для решения системы нелинейных уравнений.....................................43

3.3. Модификации метода Ньютона для решения системы нелинейных уравнений............ 46

3.4. Методы спуска для решения системы нелинейных уравнений.......................................47

4. Приближение функций......................................................................................................52

4.1. Интерполирование полиномами. Полином Лагранжа.....................................................52

4.2. Интерполяция с кратными узлами. Полином Эрмита......................................................55

4.3. Конечные разности. Интерполяционный полином Ньютона для равноотстоящих узлов........56

4.4. Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева....................58

4.5. Интерполяция сплайнами.................................................................................................60

4.6. Метод наименьших квадратов..........................................................................................62

5. Численное интегрирование.................................................................................................67

5.1. Простейшие квадратурные формулы. Формула прямоугольников, трапеции и формула Симпсона.........67

5.2. Оценка погрешности квадратурных формул прямоугольников, трапеции и формулы Симпсона.............70

5.3. Квадратурные формулы интерполяционного типа............................................................72

5.4. Квадратурные формулы Гаусса. Полиномы Лежандра.......................................................74

5.5. Апостериорные оценки погрешности................................................................................77

5.6. Построение первообразной с помощью численного интегрирования...............................79

6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений..................81

6.1. Разностная аппроксимация производных .........................................................................81

6.2. Метод Эйлера.....................................................................................................................83

6.3. Метод Рунге-Кутты.............................................................................................................86

6.4. Метод Адамса.....................................................................................................................90

6.5. Устойчивость численных методов решения задачи Коши...................................................92

6.6. Понятие о жестких задачах.................................................................................................96

7. Разностные методы решения уравнения теплопроводности..................................................97

7.1. Разностные схемы для одномерного уравнения теплопроводности....................................98

7.2. Устойчивость разностных схем...........................................................................................100

8. Метод конечных элементов..................................................................................................103

Библиографический список......................................................................................................108