Математика

1. Определённый интеграл 5

1.1. Определение, свойства, существование 5

1.2. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница 11

2. Неопределенный интеграл 14

Определение и свойства 14

Приемы нахождения неопределенных интегралов 17

2.2.1. Подведение под знак дифференциала 17

2.2.2. Интегрирование по частям 23

2.2.3. Простейшие преобразования подынтегрального выражения 31

2.2.4. Интегрирование рациональных дробей 34

2.2.5. Интегрирование простейших иррациональностей и

выражений, содержащих тригонометрические функции 41

2.3. Задача интегрирования в конечном виде 46

2.4. Замена переменных в определённом интеграле 48

2.5. Приближённое вычисление определённого интеграла 49

2.6. Несобственные интегралы 51

2.6.1. Несобственные интегралы первого рода 51

2.6.2. Несобственные интегралы второго рода 65

2.7. Приложения определённого интеграла 73

2.7.1. Вычисление площадей плоских фигур 73

2.7.2. Вычисление объёмов 75

2.7.3. Вычисление длины дуги кривой 77

3. Криволинейные интегралы. Теория поля 80

3.1. Кривые на плоскости и в пространстве 80

3.2. Криволинейные интегралы первого рода 81

3.3. Криволинейные интегралы второго рода 84

3.3.1. Определение 84

3.3.2. Физический смысл 86

3.3.3. Вычисление и свойства 87

3.4. Элементы теории поля 90

4. Введение в теорию функций комплексного переменного 100

4.1. Комплексные числа и действия над ними 100

4.2. Отображения. Образы и прообразы линий 104

4.3. Некоторые функции комплексного переменного 105

4.4. Предел функции комплексного переменного, непрерывность 107

4.5. Голоморфные (аналитические) функции комплексного

переменного, геометрический смысл модуля и аргумента производной 110

4.6. Интеграл от функции комплексного переменного 114

4.6. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши 117

5. Представление функций рядами 122

5.1. Числовые ряды 122

5.2. Функциональные ряды 134

5.3. Степенные ряды 144

5.4. Ряды Тейлора и Лорана 145

5.5. Нули аналитических функций. Особые точки 148

5.6. Вычеты 158

5.7. Вычисление интегралов с помощью вычетов 161

6. Ряды Фурье 164

7. Интегральные преобразования 179

7.1. Преобразование Фурье, интеграл Фурье, синус и косинус преобразования Фурье 180

7.2. Преобразование Лапласа 185

Литература 192