Методы математической физики

Введение

1 Математические модели и математическое моделирование

1.1 Понятие модели и моделирования

1.2 Примеры математических моделей

1.3 Методология математического моделирования

1.3.1 Подходы к построению математических моделей

1.3.2 Требования к математическим моделям

1.3.3 Этапы построения математических моделей

2 Уравнения с частными производными

2.1 Основные уравнения математической физики

2.2 Классификация уравнений с частными производными

2.3 Методы решения уравнений с частными производными

2.4 Краткие сведения из векторного анализа

3 Уравнения параболического типа

3.1 Уравнение теплопроводности и его физическая интерпретация

3.2 Вывод уравнений теплопроводности и диффузии

3.3 Граничные условия

3.4 Уравнение теплопроводности в конечном стержне

4 Уравнения параболического типа

4.1 Примеры математических моделей, приводящих к уравнениям гиперболического типа

4.1.1 Электрические колебания в длинных однородных линиях

4.1.2 Уравнения электромагнитного поля

4.1.3 Вывод уравнения колебания струны

4.2 Решение волнового уравнения

4.2.1 Однородное волновое уравнение

4.2.2 Уравнение колебаний при наличии источника

4.2.3 Обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение

4.2.4 Неоднородное уравнение с неоднородными граничными условиями

4.3 Метод Даламбера для уравнений гиперболического типа

5 Уравнения эллиптического типа

5.1 Оператор Лапласа

5.2 Преобразование координат

5.3 Основные типы граничных условий в краевых

5.4 Метод функции Грина задачах

5.4.1 Определение функции Грина

5.4.2 Задача Дирихле на плоскости

5.4.3 Задача Неймана

5.4.4 Задача Дирихле для шара и полупространства

5.5 Применение метода Фурье для уравнений эллиптического типа

5.5.1 Двумерное уравнение Лапласа и задача Дирихле для круга

5.5.2 Метод разделения переменных для трехмерного уравнения Лапласа в сферических координатах

5.5.3 Некоторые свойства многочленов Лежандра

5.5.4 Решение задачи Дирихле для шара разложением по многочленам Лежандра

6 Численные методы решения уравнений

6.1 Основные понятия метода конечных разностей

6.1.1 Общие представления о конечно-разностных формулах

6.1.2 Метод конечных разностей для решения обыкновенного дифференциального уравнения

6.1.3 Метод конечных разностей для решения дифференциальных уравнений в частных производных

6.2 Разностные схемы для решения уравнений параболического типа

6.2.1 Метод конечных разностей

6.2.2 Построение разностной сетки

6.2.3 Аппроксимация уравнения (6.16)

6.2.4 Явная разностная схема

6.2.5 Неявная разностная схема

6.2.6 Порядок аппроксимации явной разностной схемы

6.2.7 Порядок аппроксимации неявной разностной схемы

6.2.8 Реализация граничных условий

6.2.9 Метод прогонки

6.3 Разностные схемы для решения уравнений гиперболического типа

6.3.1 Метод конечных разностей

6.3.2 Построение разностной сетки

6.3.3 Аппроксимация уравнения (6.47). Разностная схема «крест»

6.3.4 Порядок аппроксимации разностной схемы «крест»

6.3.5 Реализация начальных и граничных условий

6.4 Метод конечных разностей для решения уравнений эллиптического типа

6.4.1 Метод конечных разностей для решения уравнения Пуассона

6.4.2 Методы решения уравнения (6.66)

6.4.3 Решение уравнения Пуассона со смешанными граничными условиями

Заключение

Глоссарий

Предметный указатель